2009年普通高考理科数学

2009年普通高等学校招生全国统一考试学科网

数    学（理科）学科网

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。学科网

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。学科网

选择题部分（共50分）学科网

注意事项：学科网

    1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。学科网

    2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。学科网

参考公式：学科网

如果事件互斥，那么                         棱柱的体积公式学科网

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如果事件相互独立，那么                     其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高学科网

                           棱锥的体积公式学科网

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么    学科网

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率    其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高学科网

           棱台的体积公式学科网

球的表面积公式                                学科网

                                         其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，学科网

球的体积公式                                  h表示棱台的高学科网

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其中表示球的半径学科网

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科网

1．设，，，则学科网

A．     B．     C．      D．学科网

2．已知是实数，则“且”是“且”的学科网

A．充分而不必要条件                      B．必要而不充分条件 学科网

C．充分必要条件                          D．既不充分也不必要条件学科网

3．设（是虚数单位），则学科网

A．             B．            C．           D．学科网

4．在二项式的展开式中，含的项的系数是学科网

A．             B． 学科网

C．              D．学科网

5．在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂学科网

直于底面，点是侧面的中心，则与学科网

平面所成角的大小是学科网

A．             B． 学科网

C．             D．学科网

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是学科网

A．               B．              C．              D．学科网

7．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为学科网

A．               B．              C．               D．

8．已知是实数，则函数的图象不可能是

9．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是

A．               B．              C．               D．

10．对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有

．下列结论中正确的是

A．若，，则

B．若，，且，则

C．若，，则

D．若，，且，则

非选择题部分（共100分）

注意事项：

    1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

    2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．设等比数列的公比，前项和为，

则          ．

12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，

则此几何体的体积是          ．

13．若实数满足不等式组

则的最小值是         ．

14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如

下：

       若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，

则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为          元（用数字作答）．

15．观察下列等式：

    ，

，

，

    ，

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于，          ．

16．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分

站的位置，则不同的站法种数是             （用数字作答）．

17．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除

外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点

作，为垂足．设，则的取值范围是             ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，

    ．

   （I）求的面积；

   （II）若，求的值．

19．（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．

   （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；

   （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数

和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．

20．（本题满分15分）如图，平面平面，

是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，

，的中点，，．

   （I）设是的中点，证明：平面；

   （II）证明：在内存在一点，使平面，

并求点到，的距离．

21．（本题满分15分）已知椭圆：的右

顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

   （I）求椭圆的方程；

   （II）设点在抛物线：上，在点处

的切线与交于点．当线段的中点与的中

点的横坐标相等时，求的最小值．

22．（本题满分14分）已知函数，，

其中．

   （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

   （II）设函数  是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一

的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．