2012年嘉兴二模数学试卷

2012年高三教学测试（二）

理科数学  试题卷

注意事项：

    1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;

    2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

．

如果事件A，B相互独立，那么

．

如果事件A在一次试验中发生的概率是，

那么次独立重复试验中事件恰好发生次

的概率

 ．

球的表面积公式

，

其中R表示球的半径．

球的体积公式

，

其中R表示球的半径．

棱柱的体积公式

，

其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高．

棱锥的体积公式

，

其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高．

棱台的体积公式

，

其中分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，则

A．     B．  C．   D． 

2．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A．-2 B．2 C． D． 

3．已知非零向量、，则是的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

4．下列函数中，最小正周期为的奇函数是

A．

B．

C． 

D．

5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是

A．－8

B．－2

C．－1

D．0

6．已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是

A．若，，则  B．若，，则

C．若，，则  D．若，，则 

7．有6个人站成前后两排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为

A．240      B．384         C．480         D．768

8．设实数满足：，则的最小值是

A．          B．       C．1         D．8

9．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于、两点，与双曲线的其中一个交点为，设为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为

A．    B．     C．     D．

10．已知函数（），设， ，若函数有四个零点，则的取值范围是

A．   B．   C．  D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．不等式的解集是   ▲   ．

12．若二项式展开式中的常数项为60，则实数的值为   ▲   ．

13．已知等差数列的前项和为，且，，则   ▲   ．

14．在中，角的对边分别为，若，则   ▲   ．

15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是   ▲   ．

16．已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线相交于、两点，则以为直径的圆在轴上所截得的弦长的最小值是   ▲   ．

17．甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为，则    ▲    ．

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

18．（本题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若，，求的值． 

19．（本题满分14分）

在等差数列和等比数列中，，，()，且成等差数列，成等比数列．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围．

20．（本题满分14分）

如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为．

（Ⅰ）求直线与底面所成的角；

（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分15分）

已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值．

22．（本题满分15分）

已知为常数，，函数，．（其中是自然对数的底数）

（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；

（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

2012年高三教学测试（二）

理科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．A； 2．D； 3．A； 4．B； 5．C；

6．D； 7．B； 8．B； 9．C； 10．C．

9．提示：，代入，得，代入双曲线方程，得，即可得；

10．提示：作函数的图象，且解方程得，即交点，又函数有四个零点，即函数的图象与直线有四个不同的交点，由图象知，点在的上方，所以

，解得．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．；12．；13．84；14．；15．；16．；17．．

17．提示：，，Ks5u

，．

三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分）

18．（本题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若，，求的值． 

解：（Ⅰ）

．          …4分

由，得（）．

∴函数的单调递增区间是（）．   …6分

（Ⅱ）∵，∴，．     …8分

∵，∴，

．  …11分

∴．   …14分

19．（本题满分14分）

在等差数列和等比数列中，，，()，且成等差数列，成等比数列．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；Ks5u

（Ⅱ）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围．

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由题意，得，解得．     …3分

∴，．               …7分

（Ⅱ）．       …9分

∴． …11分

∴．                   …12分

∴恒成立，即．

令，则，所以单调递增．

故，即常数的取值范围是．                      …14分

20．（本题满分14分）

如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为．

（Ⅰ）求直线与底面所成的角；

（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）过作于，

∵侧面平面， 

∴平面，

∴．

又∵是菱形，∴为的中点． …2分

以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

则,,,,,                        

∴,又底面的法向量    …4分

设直线与底面所成的角为，则,∴

所以，直线与底面所成的角为．                      …7分

（Ⅱ）假设在线段上存在点，设=，

则，，．…8分

设平面的法向量，则．

令，则，， ．          …10分

设平面的法向量，则

令，则，，．            …12分

要使平面平面，则=．

．          ．     Ks5u                          …14分

21．（本题满分15分）

已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值．

解：（I）设，，则．，，

，故点的轨迹方程：.    …6分

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，设．

则，，，不合题意． …7分

（2）当直线的斜率存在时，设，,

联立方程，得．

，，． …9分

又，

即．

将，代入上式，得．

直线过定点． …11分

． …13分

令，即，．

当且仅当时，． …15分

22．（本题满分15分）

已知为常数，，函数，．（其中是自然对数的底数）

（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；

（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

解：（I）（）．   …2分

所以切线的斜率，

整理得.                    …4分

显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，

所以方程有唯一实数解．故． …6分

（Ⅱ），． …8分

设，则．

易知在上是减函数，从而．    …10分

（1）当，即时，，在区间上是增函数．

，在上恒成立，即在上恒成立．

在区间上是减函数．

所以，满足题意．             Ks5u           …12分

（2）当，即时，设函数的唯一零点为，

则在上递增，在上递减. 又∵，∴．

又∵，

∴在内有唯一一个零点，

当时，，当时，.

从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾．

∴不合题意．

综合（1）（2）得，．            …15分